数学解法研究3 ~開成高入試プレ(中3)より~
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数学解法研究3 ~開成高入試プレ(中3)より~

今回の1問

図1のように,原点をOとする座標平面上の放物線 y=x²上にx 座標が負
である点Pをとり,Pを中心としてx 軸と点Tで接する円Pをかく。
円Pとy 軸との交点のうち,y 座標が大きいものから順にQ,Rとおき,
直線PQと円Pとの交点のうち,x 座標が小さい方をSとおく。
また,直線PQとx 軸との交点をA,放物線との交点のうちPでない方
をBとおくと,AP:PB=4:5 となった。このとき,次の問いに答えよ。

キャプチャ
図1

(1) 点Bからx 軸に垂線BB’ を下ろす。
  PT:BB’ ,TO:OB’ をそれぞれ求めよ。
(2) AP:PT,直線PQの傾きをそれぞれ求めよ。
(3) 点P,点Bの座標をそれぞれ求めよ。
(4) 点Rの座標を求めよ。
(5) △STQ:△PRB を求めよ。

※2016年実施「開成高入試プレ(中3)」より


作問者からのメッセージ

二次関数と円の組み合わせなので一見すると複雑そうに見えますが,開成高を目指す中3生ならば難なく解いてほしい問題です。小問の意図を理解して,そこで得たことを利用しながら解き進めましょう。また、基本的な解法がいくつも組み合わされているため,それらがしっかり身に付いているかどうかも問われます。ぜひ,チャレンジしてみてください。(SAPIX中学部 数学科 藤原 健司)

解答・解説

この問題の解答・解説はこちらから見られます(PDFデータが開きます)。

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