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数学解法研究7 ~筑駒高入試プレ(中3)より~

高校受験 SAPIX中学部

今回の一問

ある自然数$${n}$$について,次のような作業を行います。

① $${n}$$を12で割り,その商をさらに12で割る。商が0になるまでこれを繰り返す。
② ①の割り算を行った際に生じた余りを,右づめで続けて記録していく。
割り切れたときは,余りが0であったものと考え,0を記録する。
③ 最終的に記録された数を【$${n}$$】とする。

例えば,$${n}$$=564 のとき,

 564÷12=47 余り0
  47÷12=3 余り11
  3÷12=0 余り3

となり,右から順に0,11,3が記録されるので,【$${n}$$】=3110 です。

このとき,次の問いに答えなさい。

(1) 【$${n}$$】=345 であるとき,$${n}$$の値を求めなさい。

(2) 【$${n}$$】=1111 を満たす自然数nのうち,最小のものと最大のものをそれぞれ求めなさい。

(3) 【$${n}$$】が2017桁であるとき,$${n≦12^x}$$ を満たす自然数$${x}$$のうち,最小のものを求めなさい。


作問者からのメッセージ

12で割った際に生じた余りを書き並べる,というルール設定を読んで,「記数法」を想起できるかどうかが,この問題の最大のポイントです。そのうえで,例えば1111という表記には「1,1,1,1」「1,1,11」「11,11」といった複数の読み方があるということを踏まえ,nが最小になるとき,また,最大になるときに,どう読むのが最適なのかを考えることが必要です。そして,12で割った回数が多ければ多いほど,もとの数nが大きいのだということに気づけば,一気に前進します。初めて見るタイプの問題に対し,すでに学習している内容と結びつけて,知識を活用できるかどうかが問われます。ぜひ,チャレンジしてみてください。
(SAPIX中学部 数学科 山路 努)

※2016年実施「筑駒高入試プレ(中3)」より

解答・解説

問題の解答・解説はこちらから見られます(PDFデータが開きます)。


◆「筑駒高入試プレ」など、SAPIX中学部の公開模試について知りたい方はこちらをご覧ください。

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